Números Racionales

En esta sección se definirá a los números racionales, para entender qué son, y sus propiedades. Mostraremos ejemplos y ejercicios de los números racionales. También llamados números fraccionarios o simplemente fracciones.

¿Qué son los números Racionales?

Primero veamos qué es un número racional. Los números racionales o simplemente racionales, son aquellos que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Las conocidas fracciones de la forma a/b. Importante señalar que denominador b debe ser distinto de cero, para que tenga sentido la operación.

Desde un punto de vista practico, los números racionales son la totalidad de los números naturales, el cero, los enteros negativos y las fracciones.

La palabra “racional” no se deriva de razonable o lógico, más bien se deduce de la palabra “razón“, o proporción relativa a dos magnitudes.

¿Para qué sirve los números racionales?

Esencialmente en la vida se requiere medir cantidades, como la longitud, el área, peso y tiempo. Estás medidas tienen la particularidad de ser divididas, de esta forma son útiles. Si se estable una unidad de medida, por ejemplo metro o kilo, podremos dividir esta unidad. Así el concepto se entiende en un ejercicio práctico de pedir medio kilo de algo.

Es decir, la unidad se puede dividir en n partes iguales. Considerando el metro, este se divide en centímetros (n=100) o milímetros (n=1,000). Esta división se expresa de la siguiente manera 1/n. El lector audaz sospechará que n no puede ser cero, porque no tendría sentido, como también es posible observar que n puede ser un número muy grande.

Ahora bien, si se consideran más de una unidad, por ejemplo m, tendremos la opción de formar la cantidad m/n. Con esta notación, ahora podemos ir de compras, y pedir 3/4 de semillas. Quedémonos con esta idea. De la misma forma conservemos esta representación de los números racionales.

Definición de números racionales

En términos generales racional se traduce como “fracción” o parte de un todo.  Todavía nos queda la pregunta ¿qué son números racionales? Intuitivamente es una cifra o un valor del cociente de dos números enteros.

De manera formal se dice que los elementos de \mathbb{R} (números reales) de la forma a/b con a y b en \mathbb{Z} (Enteros), con b\neq 0 se les llama números racionales. Este conjunto se suele escribir como:

    \begin{align*} \left\lbrace\  \frac{a}{b} : a \in  \mathbb{Z}; b \in \mathbb{Z}; b \neq 0 \right\rbrace \end{align*}

Representación de los números racionales

Cómo se definió, un número racional puede escribirse siempre de la forma a/b, exigiendo que a y b sean enteros, con la condición que b \neq 0. Es posible hacer una representación única, restringiendo los a valores positivo al número a; y que a y b no tengan un factor común mayor que 1.

representación gráfica de números racionales

Se toma un punto cualesquiera en la recta L, al que se llama origen, después otro punto al que se denomina 1 o la unidad. Se utiliza la distancia entre el origen y la unidad. Hacia la derecha son los positivos, y a la izquierda los negativos. El punto P arbitrario sobre la recta representa un número racional, a x unidades de distancia del origen.

Cualquier longitud racional puede ser construida y por tanto es posible encontrar cualquier número por métodos geométricos. Así es posible obtener una representación geométrica de números racionales en la recta L. A estos puntos se les llama puntos racionales.

La relación r_1 < r_2 para dos números racionales, implica geométricamente que el punto r_1 está a la izquierda del punto r_2. La distancia entre ambos puntos es: r_2 - r_1 unidades. En caso que r_1 > r_2, la distancias es r_1 - r_2. En cualquier caso, la distancia entre estos dos puntos racionales en L es \lvert r_2 - r_1 \rvert

Si se subdivide la recta L en intervalos iguales b, se obtienen intervalos de longitud 1/b, y por tantos números de las forma a/b. Esto es, todo punto P, em la recta L es un número racional de la forma a/b, o se encuentre entre dos puntos racionales sucesivos a/b y (a+1)/b.

representación gráfica números racionales en la recta

El racional puede ser expresado a través de fracciones reducibles.  Ejemplo: 1/2 = 2/4 la fracción reducible es 2/4.

Símbolo de los números racionales

El símbolo para el conjunto de los números racionales es

    \begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}

El símbolo de un número racional, también llamado fracción, con b \neq 0, se representa como:

    \begin{align*} \frac{a}{b} \end{align*}

Clasificación de los números racionales

Racionales finitos o limitados, son aquellos que tienen un número limitado de cifras. Ejemplo: 1/2 = 0.25

Racionales periódicos, son aquellos números que tienen un número ilimitado de cifras que tienen un patrón que se repite de manera cíclica. Ejemplo: 1/3 = 0.\stackrel{\frown}{333}. Aunque se puede tomar sólo el número 3, he marcado los tres números para indicar que es posible considerar una serie de números para la periodicidad.

Cuando la periodicidad se encuentra inmediatamente después de la coma, se les llama puros, de lo contrario mixto.  Siendo estrictos, sólo existen los números periódicos, ocurre que tenemos la incapacidad de mostrar un número, cuyo patrón es infinito, de aquí la necesidad de caracterizarlos.

Propiedades de los números racionales

Si consideramos como referente el conjunto de los reales, las propiedades de los racionales para la suma, resta, multiplicación y división son equivalentes. Se requiere definir las operaciones de suma y multiplicación de los racionales, como sigue:

Definición de la Suma de racionales o fracciones

Para cualesquiera a,b,c y d, con b \neq 0 y d \neq 0, la adición se define como

    \begin{align*} \frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \end{align*}

Definición de la multiplicación de racionales o fracciones

Para cualesquiera a,b,c y d, con b \neq 0 y d \neq 0, el producto se define como

    \begin{align*} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \end{align*}

Propiedades de la adición (suma)

Propiedad de cerradura, si dos racionales se suman, el resultado será un racional

    \begin{align*} \frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} = \frac{e}{f} \end{align*}

Considerando que ad+bc = e  y bd=f.

Conmutativa

    \begin{align*} \frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{c}{d} +\frac{a}{b} \end{align*}

Neutro aditivo

    \begin{align*} \frac{a}{b} + 0 =\frac{a}{b} \end{align*}

Inverso aditivo

    \begin{align*} \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0 \end{align*}

Propiedades del producto

Propiedad de cerradura, si dos racionales se multiplican, el resultado es un racional

    \begin{align*} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{e}{f} \end{align*}

Conmutativa

    \begin{align*} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} \end{align*}

Neutro multiplicativo

    \begin{align*} \frac{a}{b} \cdot 1 =\frac{a}{b} \end{align*}

Inverso multiplicativo

    \begin{align*} \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \end{align*}

Referencias

  1. “¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales”, Richard Courant y Hebert Robbins, Editorial Fondo de Cultura Económica. Ver en Amazon.
  2. “Introducción al Análisis Matemático de una variable”, Bartle y Sherbert, Editorial Limusa Wiley- Ver en Amazon.
  3. “Introducción al Cálculo y al Análisis matemático”, volúmen 1: Richard Courant y Fritz John. Editorial Limusa.
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