Conceptos básicos de matemáticas

Las matemáticas son sencillas, sólo es aprender el nuevo lenguaje y unos cuantos conceptos básicos de matemáticas. En esta sección se dan los conceptos que creemos son esenciales para que puedas ir adquiriendo la habilidad de hablar y pensar matemáticas.

No pretendo sustituir ningún diccionario de matemáticas. Tengo como objetivo dar un enfoque, que según mi percepción, es más fácil de explicar y comprender.

¿Qué es un axioma?

Un axioma es una proposición considerada como verdad evidente, que se acepta sin demostración.  Aunque, muchas veces lo evidente de un axioma no es tan evidente. Simplemente se asume como cierto. Por ejemplo: “existe elemento de la geometría llamado punto”, “existen infinitos puntos”.

¿Qué es una definición en matemáticas?

En matemáticas la definición tiene la intención de expresar una noción tanto sencilla como compleja. Utilizando las nociones intuitivas más simples. Esto no siempre es posible, y por eso se consideran como ciertas muchas afirmaciones. El primer ejemplo que me viene a la mente es la definición del punto en geometría.

Hasta hoy nadie ha podido definir qué es un punto, sin embargo, se da como un objeto definido, que tienen sentido cuando se compara con otros. Es decir, se considera la existencia del punto, aunque no sepamos qué es. Lo que nos importa es qué es lo que podemos hacer con él. Construir rectas o curvas por citar un ejemplo.

Considerando que el unto está aceptado como tal, se pude definir la recta a partir de él. Hay autores que dicen que la recta es una sucesión de puntos. Consideré la definición más sencilla, para ejemplificar la construcción de una definición a partir de un objeto aceptado.

¿Qué son las propiedades?

Las propiedades, en principio se pueden entender como descripciones de los objetos y sus relaciones con otros objetos. Son verdades evidentes, y aquí está el lazo que nos ha tirado a todos. Lo que es evidente para algunos, no lo es para otros. Se puede construir una propiedad a partir de proposiciones lógicas.

Tomemos dos números del conjunto de los número naturales: 1 y 2. Una de las propiedades del número dos, consiste que es mayor que uno. Si tomamos otros dos números al azar, se puede estables una relación de orden, en la cual se obtenga una conclusión general. Para dos números naturales a y b, se cumple que a < b, o, a = b, o, a > b.

La afirmación de orden, mencionada en el anterior párrafo genera lo que llamaremos postulados y teoremas.

¿Qués un postulado?

Los postulados también están basados en la intuición. Así que un postulado es una verdad intuitiva de la que se tiene suficiente evidencia para ser aceptada. Sinceramente, no siempre es tan intuitivo. Una cosa es decirlo y otra aplicarlo. Veamos un ejemplo

La suma de dos números es única

Parece intuitivo, más o menos. Si buscamos las sumas de dos números que den la misma solución no será muy difícil encontrarlos. Considera 1 + 1 = 2; 2 + 0 = 2; y podemos encontrar otros. El postulado no se refiere a los ejemplo que he mostrado. Lo que quise destacar, que no siempre será tan intuitivo.

Este ejemplo es más fácil de entender, nuestra intuición está mejor ejercitada para captar la idea inmediato

Todo objeto es igual así mismo

¿Qué es un teorema?

Un teorema es consecuencia lógica de una sucesión de postulados, axiomas y otros teoremas. La diferencia relevante consiste en que se construye a través de la deducción. Para dar certeza de que efectivamente es un teorema, se requiere demostrar para aceptarse como una verdad absoluta.

En pocas palabras, un teorema es na verdad que puede ser o no evidente, pero que es demostrable. Por ejemplo si un número termina en cero o en cinco este es divisible por cinco.

¿Qués es un lema en matemáticas?

Es una demostración (proposición o teorema), que va antes de otro teorema porque es necesario para la demostración de éste. Viene del griego que significa “cualquier cosa que es recibida”.

Un ejemplo de lemas es de Euclides.

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor.

¿Qué es un corolario?

En términos prácticos es una verdad que es consecuencia directa del teorema. Ayuda porque ya no es necesario invertirle tiempo a la demostración.

El teorema es

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

el corolario es

En un triángulo rectángulo la suma de los dos ángulos contiguos a la hipotenusa es igual a 90°.

¿Qué es un escolio en matemáticas?

Es una advertencia que se hace sobre alguna afirmación matemáticas con el fin de aclarar, ampliar o limitar el argumento. La palabra escolio tiene como etimología la palabra “comentario”.

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