Fórmula general para Ecuaciones segundo grado

La Fórmula general para resolver la ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas de una variable real, de la forma $ax^2+bx+c=0$ consiste en encontrar los valores, también llamadas raíces, de $x$ que cumplen con la condición. Se espera resolver esta expresión siempre, en el conjunto de números reales.

$\begin{align*} x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 -4ac}} {2a} \end{align*}$

Habrá ocasiones que la solución se encuentre en el campo de los números complejos. Recordar que la ecuación es una suma algebraica de tres términos. El grado de una ecuación es determinado por el exponente mayor de $x$ , en este caso dos. De tal manera tenemos un polinomio cuadrático o de segundo grado.

Métodos para calcular las raíces

Conozco tres métodos de solucionar las ecuaciones cuadráticas. En otras palabras, tres maneras de encontrar las raíces. El primero es heurístico, se aplica la intuición y se aproxima a prueba y error. También se suele graficar al ecuación de segundo grado, para identificar los puntos sobre los ejes. El segundo método es de factorización. Por último es la utilización de la fórmula general.

Factorización simple
Completando el cuadrado
Fórmula General o cuadrática

En sí, la fórmula general es la solución para ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los números reales. El objetivo es transformar la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ a un trinomio cuadrado perfecto. Obtener la fórmula es de utilidad porque es una herramienta para resolver ecuaciones que no se puedan factorizar, además de ahorrar tiempo al momento de aplicarla sin tener que completar el cuadrado.

Factorización simple

Consiste en aplicar propiedades de los número para transformar la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Seguido, se busca por aproximación el valor de $x$ de cada binomio. Se requiere buscar dos números que multiplicados den como resultado el valor de $c$ , y al sumarse el valor de $b$

Ejemplo de factorización simple

Tenemos la siguiente ecuación, donde $a=1$ , $b=4$ y $c=4$

$\begin{align*} x^2+4x+4=0 \end{align*}$

Los número que multiplicados dan 4, son 1 x 4 y 2 x 2. De estos número los que al sumar den 4 son 2 + 2. Escribimos el producto del binomio de la siguiente forma

$\begin{align*} (x+2 ) (x+2) = 0 \end{align*}$

Tenemos dos soluciones $x_1 = -2$ y $x_2 = -2$ esta ocasión ambas raíces son iguales.

Completando el cuadrado

Este método exige que la ecuación genérica tenga la siguiente forma:

$\begin{align*} x^2+bx+c = 0 \end{align*}$

El coeficiente del $x^2$ , es decir $a$ , tiene el valor de 1. Cuando este término es diferente de 1 (y por supuesto diferente de cero), se requiere llevar a la ecuación esperada. Esto se realiza a través de la división de toda la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática.

$\begin{align*} ax^2+bx+c = 0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{b} = 0 \end{align*}$

Sustituyendo los coeficientes de números escritos con notación de fracciones

$\begin{align*} \frac{b}{a} = b_1, \frac{c}{b} = c_1 \\ x^2+b_{1}x+c_1 = 0 \end{align*}$

Se obtiene la forma esperada de la ecuación para completar el cuadrado. Con esto se establece el primer paso. De la construcción anterior lo que se requiere ahora es eliminar el valor $c_1$ del lado derecho de la ecuación, esta acción se realizará restando el número equivalente al término independiente.

$\begin{align*} x^2+b_{1}x+c_1 - c_1 = -c_1 \\ x^2+b_{1}x = -c_1 \end{align*}$

El siguiente paso es sumar la mitad de $b_1$ al cuadrado, esto es:

$\begin{align*} x^2+b_{1}x +\left(\frac{b_1}{2}\right)^2 = -c_1 +\left(\frac{b_1}{2}\right)^2 \end{align*}$

El paso siguiente es factorizar de acuerdo a este término independiente

$\begin{align*} \left(\ x + \frac{b_1}{2} \right)^2 = -c_1 +\left(\frac{b_1}{2}\right)^2 \end{align*}$

Es conveniente hacer la sustitución del lado izquierdo de la ecuación, imaginemos que realizamos la operación y que obtenemos como resultado $c_2$ , este paso es para hacer sencilla la explicación, así es posible escribir la ecuación de la manera correspondiente

$\begin{align*} \left(\ x + \frac{b_1}{2} \right)^2 = c_2 \end{align*}$

Por último obtenemos los valores de $x$

$\begin{align*} x =\pm \sqrt{ c_2} - \frac{b_1}{2} \end{align*}$

Ejemplo de completar el cuadrado

$\begin{align*} 2x^2+4x-16 = 0 \end{align*}$

Obtener la forma de la ecuación donde el coeficiente de $x^2$ es 1

$\begin{align*} 2x^2+4x-16 = 0 \\ \frac{2}{2}x^2+\frac{4}{2}x-\frac{16}{2} = \frac{0 }{2} \\ x^2+2x-8=0 \end{align*}$

Sumamos 8 (el valor contrario a -8) y a la vez sumamos la mitad del coeficiente lineal $x$ elevado al cuadrado

$\begin{align*} x^2+2x + \left(\frac{2}{2}\right)^2=8 + \left(\frac{2}{2}\right)^2 \\ x^2+2x + 1^2=8 + 1^2 \end{align*}$

Factorizamos del lado derecho, y sumamos del lado izquierdo

$\begin{align*} \left(x + 1\right)^2=9 \end{align*}$

Por último, obtenemos las raíces

$\begin{align*} x_1 = -1+\sqrt{9} = -1+3 = 2\\ x_2 = -1 - \sqrt{9} = -1-3 =-4 \end{align*}$

Fórmula cuadrática

Es el método más conocido, más usado y simple. Solamente se requiere sustituir los valores de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ de la ecuación cuadrática en la fórmula siguiente:

$\begin{align*} \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 -4ac}} {2a} \end{align*}$

Ejemplo de uso fórmula cuadrática

Considerando el ejemplo que resolvimos en la sección anterior, tenemos que identificar los valores de los coeficientes y sustituirlos en la la fórmula, veamos cómo hacerlo

$\begin{align*} 2x^2+4x-16 = 0 \end{align*}$

En esta ecuación los coeficientes son: $a=2$ , $b=4$ y $c=-16$ , sustituimos en la fórmula

$\begin{align*} x = \frac{-4 \pm \sqrt{ 4^2 -4\cdot 2 \cdot (-16)}} {2\cdot 2} \\ x = \frac{-4 \pm \sqrt{ 16 + 128 }} {4} = \frac{-4 \pm \sqrt{ 144 }} {4} \end{align*}$

Por último obtenemos las raíces.

$\begin{align*} x_1 = \frac{-4 + 12} {4} = 2 \\ x_2 = \frac{-4 - 12} {4} =-4 \\ \end{align*}$

Deducción de la Fórmula General completando el cuadrado

La forma canónica contiene los coeficientes $a,b,c$ y la $x$ como variable de valor desconocido. En principio $a$ es el coeficiente cuadrático (siempre diferente de cero), $b$ el coeficiente lineal y por último $c$ es el término independiente.

$\begin{align*} ax^2+bx+c=0 \end{align*}$

Utilizaremos los axiomas (verdades evidentes) de los reales para crear el trinomio cuadrado perfecto. Primero dividimos por el coeficiente del término cuadrado, en este caso es la $a$

$\begin{align*} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{align*}$

Es conveniente sustituir los nuevos coeficientes por nuevas letras (nos ayudará a simplificar los siguientes pasos), utilizaré letras griegas, así tendremos: $\alpha=\frac{b}{a}, \beta=\frac{c}{a}$

$\begin{align*} x^2+\alpha x+\beta=0 \end{align*}$

Restamos $\beta$ en ambos lados de la ecuación

$\begin{align*} x^2+\alpha x+\beta - \beta=0-\beta \implies x^2+\alpha x=-\beta \end{align*}$

Es cierto que las mentes brillantes de matemáticos que desarrollaron estos métodos, se armaron de creatividad, en el siguiente paso, se sumará $0$ , más no es cualquier cero, es un cero que servirá para construir el trinomio.

$\begin{align*} x^2+\alpha x \underbrace{+ \frac{\alpha^2}{4} - \frac{\alpha^2}{4}}_{\text{se suma cero}}=-\beta \implies x^2+\alpha x + \frac{\alpha^2}{4}= \frac{\alpha^2}{4}-\beta \end{align*}$

Utilizaremos el concepto de completar el trinomio cuadrado perfecto

$\begin{align*} x^2+\alpha x +\left (\frac{\alpha}{2}\right)^2 =\frac{\alpha^2}{4}-\beta \implies x^2+\alpha x + \frac{\alpha^2}{4}= \frac{\alpha^2}{4}-\beta \end{align*}$

El siguiente paso es escribir el trinomio cuadrado perfecto en su forma binómica, en otras palabras, factorizar como binomio cuadrado

$\begin{align*} \left (x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 =\frac{\alpha^2}{4}-\beta \end{align*}$

Me gusta recordar que existe teorema que es la base de obtener la conocida raíz cuadrada, practica que se utilizará para continuar, en términos generales. El cuadrado de un número es igual al cuadrado de otro número, entonces el primero es igual al asegundo, o el primero es igual al negativo del segundo:

$\begin{align*} x = a^2=b^2 \implies a = b \text{ o } a = -b \end{align}$

Utilizando el teorema, se obtiene la raíz

$\begin{align*} x + \frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}-\beta} \implies x + \frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{\frac{\alpha^2-4\beta}{4}} \end{align*}$

Aplicando álgebra, y despejando $x$

$\begin{align*} x = - \frac{\alpha}{2} \pm \sqrt{\frac{\alpha^2-4\beta}{2^2}} = - \frac{\alpha}{2} \pm \frac{\sqrt{\alpha^2 - 4 \beta} }{2} \end{align*}$

$\begin{align*} =\frac{-2\alpha \pm 2\sqrt{\alpha^2 - 4 \beta}}{4} = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4 \beta}}{2} \end{align*}$

Sustituimos los valores de $\alpha=\frac{b}{a}$ , y $\beta=\frac{c}{a}$

$\begin{align*} \frac{-\frac{b}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \frac{c}{a}}}{2} \implies \frac{-\frac{b}{a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{a^2} - 4 \frac{c}{a}} }{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{-\frac{b}{a} \pm \sqrt{\frac{b^2 -4ac}{a^2} } }{2} \implies \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{ \sqrt{ b^2 -4ac}}{a} }{2} \end{align*}$

Ecuación completa de segundo grado o Fórmula General

Utilizando un poco más de álgebra en los pasos anteriores, se puede obtener, finalmente la fórmula general. También conocida como la ecuación completa de segundo grado. Se le conoce como ecuación completa debido sus coeficiente $a,b,c$ no son cero.

$\begin{align*} x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 -4ac}} {2a} \end{align*}$

Se obtienen dos soluciones simbolizadas por $\pm$ , la anterior expresión se puede reescribir por

$\begin{align*} x_1 = \frac{-b + \sqrt{ b^2 -4ac}} {2a} \end{align*}$

$\begin{align*} x_2 = \frac{-b - \sqrt{ b^2 -4ac}} {2a} \end{align*}$

Ecuación incompleta

Suele llamarse incompleta si la ecuación carece del término lineal o término de primer grado. Tiene la forma:

$\begin{align*} ax^2 + c = 0 \end{align*}$

Ecuación incompleta mixta

Existe una otra clasificación de la ecuación llamada incompleta mixta, es la que carece de término independiente (literal, es decir no tiene $c$ ), la forma es:

$\begin{align*} ax^2 + bx = 0 \end{align*}$

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

A continuación se mostrarán ejemplos de la ecuaciones de segundo grado,

$\begin{align*} 2x^2 + 3x + 8 = 0 \\ 11x^2 + 19x + 30 = 1 \\ x^2 + x +1 = 2 \\ \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{3}{4} = 7\\ x^2 + 2x \end{align*}$

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Referencias

Haaser, La Salle y Sullivan. Análisis Matemático Tomo 1. Editorial Trillas, consultado en FES Acatlán