Las matemáticas usan reglas inventadas para crear modelos y relaciones veamos cómo desarrollar una mentalidad para las matemáticas. Al aprender, se suelen preguntar:
- ¿Qué relación representa este modelo?
- ¿Qué elementos del mundo real comparten esta relación?
- ¿Esa relación tiene sentido para mí?
Son preguntas simples, pero ayudan a entender nuevos temas.
Educación en matemáticas
Los libros de texto rara vez se centran en la comprensión; es sobre todo la solución de problemas con las fórmulas. Es triste que las ideas hermosas reciban un tratamiento tan rutinario:
- El Teorema de Pitágoras no se trata sólo de triángulos. Se trata de la relación entre formas similares, la distancia entre cualquier conjunto de números, y mucho más.
- e no es sólo un número. Se trata de las relaciones fundamentales entre todas las tasas de crecimiento.
- El registro natural no es sólo una función inversa. Se trata de la cantidad de tiempo que las cosas necesitan para crecer.
Elegante, “a ha!” las percepciones deben ser nuestro enfoque, pero dejamos eso para que los estudiantes se tropiecen al azar con ellos mismos. Llegué a un momento “a ha” después de una infernal sesión de estudio en la universidad; desde entonces, he querido encontrar y compartir esas epifanías para evitar a otros el mismo dolor.
Pero funciona en ambos sentidos… quiero que compartas tus ideas conmigo también. Hay más comprensión, menos dolor, y todos ganan.
Las matemáticas evolucionan con el tiempo
Considero las matemáticas como una forma de pensar, y es importante ver cómo se desarrolló ese pensamiento en lugar de sólo mostrar el resultado. Probemos con un ejemplo.
Imagina que eres un cavernícola haciendo matemáticas. Uno de los primeros problemas será cómo contar las cosas. Con el tiempo se han desarrollado varios sistemas:
Ningún sistema es correcto, y cada uno tiene sus ventajas:
- Un sistema unitario: Dibuja líneas en la arena… tan simple como se puede. Genial para llevar la cuenta en los juegos; puedes añadir un número sin borrar y reescribir.
- Números romanos: Unario más avanzado, con atajos para números grandes.
- Decimales: Enorme comprensión de que los números pueden usar un sistema “posicional” con lugar y cero.
- Binario: El sistema posicional más simple (dos dígitos, encendido y apagado), por lo que es genial para los dispositivos mecánicos.
- Notación científica: Extremadamente compacto, puede medir fácilmente el tamaño y la precisión de un número (1E3 vs 1.000E3).
¿Crees que hemos terminado? No puede ser. En 1000 años tendremos un sistema que hará que los números decimales se vean tan pintorescos como los números romanos (“Por Georce, ¿cómo se las arreglaron con herramientas tan simples?”).
Los números negativos no son tan reales
Pensemos un poco más en los números. El ejemplo anterior muestra que nuestro sistema numérico es una de las muchas maneras de resolver el problema de “contar”.
Los romanos considerarían que el cero y las fracciones son extraños, pero no significa que la “nada” y la “parte al todo” no sean conceptos útiles. Pero vean cómo cada sistema incorporó nuevas ideas.
Fracciones (1/3), decimales (.234), y números complejos (3 + 4i) son formas de expresar nuevas relaciones. Puede que no tengan sentido ahora mismo, al igual que el cero no “tenía sentido” para los romanos. Necesitamos nuevas relaciones en el mundo real (como la deuda) para que hagan clic.
Incluso entonces, los números negativos pueden no existir en la forma en que pensamos, como me convences aquí:
Tú: Los números negativos son una gran idea, pero no existen inherentemente. Es una etiqueta que aplicamos a un concepto.
Yo: Claro que sí.
Tú:..: Ok, muéstrame -3 vacas.
Yo: Bueno, um… asume que eres un granjero, y que has perdido 3 vacas.
Tú: Ok, tienes cero vacas.
Yo: No, quiero decir, le diste 3 vacas a un amigo.
Tú: Ok, él tiene 3 vacas y tú tienes cero.
Yo: No, quiero decir, él las va a devolver algún día. Él te debe.
Tú: Ah. Así que el número real que tengo (-3 o 0) depende de si creo que me lo devolverá. No me di cuenta de que mi opinión cambió la forma de contar. En mi mundo, tenía cero todo el tiempo.
Yo: Suspiro. No es así. Cuando te devuelve las vacas, pasas de -3 a 3.
Tú: Ok, entonces él devuelve 3 vacas y nosotros saltamos 6, de -3 a 3? ¿Alguna otra nueva aritmética que deba conocer? ¿Cómo son las vacas de sqrt(-17)?
Yo: Fuera.
Los números negativos pueden expresar una relación:
- Los números positivos representan un superávit de vacas
- El cero representa que no hay vacas
- Los números negativos representan un déficit de vacas que se supone que deben ser devueltas
Pero el número negativo “no está realmente ahí”… sólo está la relación que representan (un superávit/déficit de vacas). Hemos creado un modelo de “número negativo” para ayudar con la contabilidad, aunque no puedas tener -3 vacas en la mano. (A propósito, he utilizado una interpretación diferente de lo que significa “negativo”: es un sistema de conteo diferente, al igual que los números romanos y los decimales son sistemas de conteo diferentes).
Por cierto, los números negativos no fueron aceptados por mucha gente, incluyendo a los matemáticos occidentales, hasta el 1700. La idea de un negativo se consideraba “absurda”. Los números negativos parecen extraños a menos que se pueda ver cómo representan complejas relaciones del mundo real, como la deuda.
¿Por qué toda la filosofía?
Me di cuenta de que mi **mente es clave para el aprendizaje. **Me ayudó a llegar a una profunda comprensión, específicamente:
- El conocimiento factual no es comprensión. Saber que “los martillos clavan” no es lo mismo que la comprensión de que cualquier objeto duro (una piedra, una llave inglesa) puede clavar un clavo.
- Mantén la mente abierta. Desarrolle su intuición permitiéndose ser un principiante de nuevo. Un profesor universitario fue a visitar a un famoso maestro Zen. Mientras el maestro servía té en silencio, el profesor habló sobre el Zen. El maestro sirvió la taza del visitante hasta el borde, y luego siguió sirviendo. El profesor observó la taza rebosante hasta que no pudo contenerse más. “¡Está llena! No entrará más!”, dijo el profesor. “Eres como esta copa”, respondió el maestro, “¿Cómo puedo mostrarte el Zen si antes no vacías tu copa?”
- Sé creativo. Busca relaciones extrañas. Usa diagramas. El humor. Analogías. Mnemotécnica. Usa cualquier cosa que haga las ideas más vívidas. Las analogías no son perfectas pero ayudan cuando se lucha con la idea general.
- Date cuenta de que puedes aprender. Esperamos que los niños aprendan álgebra, trigonometría y cálculo que asombren a los antiguos griegos. Y deberíamos: somos capaces de aprender mucho, si se explica correctamente. No te detengas hasta que tenga sentido, o esa brecha matemática te perseguirá. La fortaleza mental es crítica… a menudo nos damos por vencidos con demasiada facilidad.
Entonces, ¿cuál es el punto?
Quiero compartir lo que he descubierto, esperando que te ayude a aprender matemáticas:
- Las matemáticas crean modelos que tienen ciertas relaciones
- Tratamos de encontrar fenómenos del mundo real que tengan la misma relación
- Nuestros modelos siempre están mejorando. Puede que aparezca un nuevo modelo que explique mejor esa relación (números romanos a sistema decimal).
Claro, algunos modelos parecen no tener utilidad: “¿De qué sirven los números imaginarios?”, se preguntan muchos estudiantes. Es una pregunta válida, con una respuesta intuitiva.
El uso de los números imaginarios está limitado por nuestra imaginación y comprensión – así como los números negativos son “inútiles” a menos que tengas la idea de la deuda, los números imaginarios pueden ser confusos porque no entendemos realmente la relación que representan.
Las matemáticas proveen modelos; entienden sus relaciones y los aplican a objetos del mundo real.
El desarrollo de la intuición hace que el aprendizaje sea divertido, incluso la contabilidad no es mala cuando se entienden los problemas que resuelve. Ahora tienes un punto de vista de cómo desarrollar una mentalidad para las matemáticas.