Axiomas de campo de los números reales

Los números reales se utilizan, técnicamente en todas las ramas de las matemáticas y es importante tener una noción sobre ellos antes de abordar los Axiomas de campo de los números reales. El conjunto de los números reales puede definirse suponiendo que tienen los número racionales, y definiendo luego un número real en térinos de números racionales. Este es método usado por Dedeking. El conjunto se denota por \mathbb{R} y se compone, como se mencionó, de otros conjuntos.

Los axiomas se consideran como verdaderos, no se demuestran, sólo se aceptan.

Composición de los números reales

Números naturales: son los números que nos sirven para contar y ordenar, se simboliza por \mathbb{N} y se puede expresar por:

    \begin{align*} \mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\} \end{align*}

Algunos autores consideran el número 0 como parte de los números naturales, no es una regla.

Números enteros: es conjunto se compone de los números naturales, sus negativos y el cero, y el símbolo para denotarlo es \mathbb{Z}, la notación para este conjunto es

    \begin{align*} \mathbb{Z} = \{...,-4,-3,-2,-1,0.1,2,3,4,...\} \end{align*}

Números racionales: cada elemento de este conjunto se expresa de la siguiente forma p/q, donde p y q son son números pertenecientes a los enteros y q siempre es distinto de cero. Tienen una expansión decimal infinita o periódica. Se denota con la letra \mathbb{Q}:

    \begin{align*} \mathbb{Q} = \{p/q : p \ \text{y} \ q  \in \mathbb{Z} \ \text{y} \ q \neq 0  \} \end{align*}

Números irracionales: Son números que no pueden escribirse de la forma p/q, tienen una expansión decimal infinita y apreiódica. El conjunto se denota por  \mathbb{I}. Ejemplo de ellos es el número \pi

La unión de los conjuntos anteriores forman al conjunto de los números reales.

Axiomas de campo de los números reales

En el conjunto de los número reales, se definen dos operaciones: la suma o adición y el producto o multiplicación y una relación de orden, denotada por “<” que satisfacen los siguientes axiomas.

Axiomas de la adición

Axioma 1 Para todo a y b en \mathbb{R}, a+b \in \mathbb{R}. Estabilidad o cerradura. Se dice que los números reales son cerrados respecto a la adición (escrita frecuentemente por +). Esto quiere decir que a cada par de números en este conjunto, por ejemplo, a y b corresponde exactamente un número real a+b. Llamado suma de a y b.

Axioma 2 Para todo a y b en \mathbb{R}, a+b = b+a. Ley conmutativa.

Axioma 3 Para todo a, b y c en \mathbb{R}, (a+b) +c = a + (b+c). Ley asociativa.

Axioma 4 Existe un elemento y sólo uno, al que se denota por “0”, tal que para todo a en \mathbb{R}, a+0=a=0+a. La existencia y unicidad del elemento neutro aditivo.

Axioma 5 Para cada a en \mathbb{R}, hay un y sólo un elemento, al que se denota por -a, tal que a+(-a) = -a+a. La existencia y unicidad del elemento neutro aditivo.

Axiomas de la multiplicación

Axioma 1 Para todo a y b en \mathbb{R}, ab \in \mathbb{R}. Estabilidad. Este conjunto también es cerrado en relación a la multiplicación (escrita por conveniencia por \cdot ), equivalentemente a cada par de números a, b corresponden un número real a \cdot b también escrito como ab, llamado producto de a y b.

Axioma 2 Para todo a y b en \mathbb{R}, ab = ba. Ley conmutativa.

Axioma 3 Para todo a, b y c en \mathbb{R}, (ab) c = a (bc). Ley asociativa.

Axioma 4 Existe un elemento y sólo uno, al que se denota por “1”, diferente de “0”, tal que para todo a en \mathbb{R}, a \cdot 1=a=1 \cdot a. La existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.

Axioma 5 Para cada a en \mathbb{R}, hay un y sólo un elemento, al que se denota por a^{-1}, tal que a \cdot a^{-1} = 1 =  a^{-1} \cdot a. La existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo.

Axioma distributivo

Axioma Para todo a, b y c en \mathbb{R}, a(b+c)=ab+ac y (b+c)a=ba+ca. Ley distributiva.

Axiomas de orden

Axioma 1 Para cualesquiera dos elementos a y b en \mathbb{R}, una y sólo una de las sigueintes relaciones se verifica:  a<b, a = bb < a Ley de tricotomia.

Axioma 2 Si a<b y b<c, entonces a<c. Ley transitiva.

Axioma 3 Si a<b, entonces, para todo c en \mathbb{R}, a+c<b+c.

Axioma 4 Si a<b y 0<c, entonces ac<bc

Axioma fundamental

Existe un conjunto que se denota por \mathbb {R} que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

Referencias

  • Haaser, La Salle y Sullivan. Análisis Matemático Tomo 1. Editorial Trillas.
  • Bartle y Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una variable. Limusa Wiley.

Deja un comentario